南开大学数学科学学院教授、国家级教学名师 顾沛
数学本身就是一种文化，再谈“数学文化”，意义何在？南开大学近几年开设了“数学文化”课，这个课的目的是什么？内容有哪些？在这个课中如何进行素质教育？本文将粗浅地讨论这些问题。
一、什么是“数学文化”
1.“数学文化”一词的使用
“数学文化”一词，大约是20年前出现的，最近三四年才用得多起来。所以，对许多人来说，“数学文化”一词还是陌生的。而这个词的使用频率近年大大增加，说明它是有生命力的，说明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，更愿意强调数学的文化价值。事实上，数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力之一。数学与人类文明，与人类文化有着密切的关系。
教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准》(实验)中，有四个地方大段地从数学文化的角度来阐述观点，并且在标题中使用“数学文化”一词。可见“数学文化”一词已在官方文件中正式使用。
我国高校开设“数学文化”课，据笔者所知，最早是1999年左右黄力民老师在湘潭工学院开设的，但不久因为黄老师的工作调动而终止了。之后是2001年2月南开大学开设了“数学文化”课，至今已开了六轮。当然，如果把内容以数学文化为主但课名不叫“数学文化”的课也算进去，就较多了。
2003年4月，天津市三所规模最大的高校——南开大学、天津大学、天津师范大学，联合举办“数学文化展示月”，使“数学文化”一词，成为大学生文化素质教育活动的一个主题词。2003年10月，高等教育出版社在北京召开“全国数学史、数学文化课程建设与教学研讨会”，使“数学文化”一词，成为全国性教学研究会议的一个主题词。
最近几年，笔者见到了许多以数学文化为主题的书籍。特别是在书名中同时有“数学”、“文化”两词的，有邓东皋等的《数学与文化》，齐民友的《数学与文化》，张楚廷的《数学与文化》，方延明的《数学文化导论》，张楚廷的《数学文化》，郑毓信、王宪昌等的《数学文化学》，游安军的《数学发展的文化视角》，黄秦安的《数学哲学与数学文化》。可见，“数学文化”，已经越来越被认同，已经越来越多地被使用。
2.什么是“数学”
关于什么是“数学”，过去我国一直沿用早年恩格斯的说法——数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。从那时以来，数学大大发展了。现在许多人认为，仅仅说数学是研究数量关系和空间形式已经不够了，客观世界中的其他“关系”，以及物质形态的“结构”，也都成了数学研究的对象。
但是，要给数学下一个定义，并不是那么容易的，特别是下一个大家能形成共识的定义，就更不容易。方延明的《数学文化导论》里，收集了数学的15个所谓的“定义”，其实是从不同角度来看数学。所以现在有些学者又认为，恩格斯的说法仍然有效，可以加几个字，说成：数学是在相当广泛的意义下研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
关于数学在科学中的位置，人们倒逐渐在形成共识。过去把科学分为自然科学、社会科学两大类，数学是自然科学里的一门，数、理、化、天、地、生都是自然科学。现在许多人认为，自然科学是以研究物质的某一运动形态为特征的，如物理、化学等都各有自己的运动形态作为研究对象，而数学是忽略了物质的具体形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的，从而与理、化、生等不属于同一层次，不是自然科学的一种，而很像研究思维规律的哲学，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位。所以，现在有些著名科学家把科学分为自然科学、哲学社会科学和数学科学三大类。这种观点的自然延伸，认为数学不是一种理学，不应该放在理学院中，从而单独成立数学科学学院就成为顺理成章的事了。
3.什么是“数学文化”
“文化”一词，一般有狭义和广义的两种解释。狭义的“文化”，仅指知识。说一个人有文化，就是说他有知识。广义的“文化”，则泛指人类的物质财富和精神财富的积淀，是一种上层建筑，有相对的稳定性。数学文化中的“文化”，用的是“文化”的广义的解释。“中华民族的文化”、“茶文化”、“酒文化”、“风筝文化”、“校园文化”、 “旅游文化”等中的“文化”，也都是“文化”的广义的解释。
什么是“数学”，尚且很难形成共识；什么是“数学文化”，就更难形成共识了。仅据笔者的理解，目前关于“数学文化”一词，也有狭义和广义的两种解释。狭义的解释，是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义的解释，则是除这些以外，还包含数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系。本文在使用“数学文化”一词时，比较倾向于它的狭义解释。
数学科学有自己特有的思维模式和推理方式。形式逻辑的原则保证了数学定理的正确性，体现了“公开、公正、公平”的原则，也排除了在其他某些学科中有时出现的思维混乱。但是，数学中的许多重要思想、概念、方法的形成，并不是来源于形式逻辑的思维模式，而是来源于外部世界的需求和推动，来源于其他思维模式，特别是来源于辩证思维的模式。例如牛顿、莱布尼兹创立的微积分，是重大的数学创新，它起初就缺乏严格的形式逻辑的基础，“无穷小量”的概念甚至是混乱粗糙的。直至后来建立了严格的极限理论和实数理论，才符合了形式逻辑原则，成为成熟的数学。所以，形式逻辑和辩证思维，两者都不能偏废，这里面的思想、精神和方法，就含有丰富的数学文化。
一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级，一般要学13年的数学课程，只有语文课能与之相比；但许多人并未因为学的时间长就掌握了数学的精髓。日本学者米山国藏说，在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终身受益。这段话说得很中肯，涉及到数学的精髓，也涉及到人的数学素质。
现在提倡素质教育，并把人的素质划分为思想道德素质、专业素质、文化素质、身体心理素质四个方面。数学文化就是文化素质的一部分。21世纪是知识经济的时代，是信息化的时代。21世纪所需要的人才，不可能是没有或缺乏数学素质的人才。
二、南开大学开设“数学文化”课的做法
笔者在《大学数学》杂志2003年第2期上曾发表过一篇文章，题目就是《南开大学开设“数学文化”课的做法》。文章发表后，收到许多老师的来信、来电，表示赞同我们的看法和做法。可见“数学文化”课这个新生事物是有生命力的。
1. 开设“数学文化”课的背景
教育部1995年以来，一直比较关注大学生的文化素质教育，起初是强调大学生人文素质方面的教育，后来，也同时强调大学生在自然科学方面的文化素养的教育。南开大学1999年被教育部审批为“大学生文化素质教育基地”，教务处陆续组织各院系开出了一大批文化素质教育方面的选修课。南开大学的“数学文化”课，就是在这样的背景下于2001年2月应运而生的。现在，它已开设过六轮，2004年9月即将开始第七轮。
近年来，天津市高校的几乎所有专业(甚至包括艺术类专业)都逐步开设了数学课，因为越来越多的人认识到，数学教育对所有大学生来说，都必不可少。南开大学的数学教师在自己的教学研究和教学改革的实践中总结了数学的三个“不仅是”“也是”。这就是：数学不仅是一种重要的“工具”或“方法”，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。
我们认为，对于所有专业的大学生，数学教育将从以下五个方面发挥作用：第一，掌握必要的数学工具，用来处理解决本学科中普遍存在的数量化问题及逻辑推理问题；第二，了解数学文化，提高数学素质，这种素质将使人终身受益；第三，潜移默化地培养学生“数学方式的理性思维”，如抽象思维、逻辑思维等；第四，培养全面的审美情操；第五，为学生今后的进一步学习打基础，做准备。
南开大学开设的“数学文化”课，是校公共选修课；课程的任务，是讲授数学的思想、精神和方法，是探讨数学与人文的交叉。这种定位也是有一个过程的。起初也曾设想过，把这个课开成是只针对文科学生的选修课。因为“文科数学”受课时少的限制，普遍采取了重结论不重证明，重计算不重推理，重知识不重思想的讲授方法；“数学文化”课则是从数学思想角度对它的一个补充。可是后来我们又考虑到，数、理、化、生等理科专业的学生，数学课的课时虽然较多，但教师多半以讲授数学知识及其应用为主，对于数学在思想、精神及人文方面的一些内容，很少涉及，甚至连数学史、数学家、数学思想、数学观点、数学思维、数学方法这样一些基本的数学文化内容，也只是个别教师在讲课中零星地提到一些。所以，无论是文科还是理科的大学生，虽然学了多年的数学，仍然对数学的思想、精神了解得很肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差。而这些数学素养，反而是数学让人终身受益的精华。所以我们最终定位，“数学文化”课是校公共选修课，无论哪个专业的学生，都可以选。实践下来，学生选课十分踊跃，至今全校五十几个专业，都有学生选过“数学文化”课。
2.“数学文化”课的内容和教学大纲
该课程的教学计划为每周两课时，共上17周，34课时。那么，在这样的课时下，都讲些什么呢？“数学文化”一词所涉及到的内容是相当宽泛的。除了我们前边列举过的八本数学文化书籍外，更有多得难以列举的关于数学方法论、数学美等相关的书籍。这些书的内容虽有交叉，但体系各不相同。所以，在“数学文化”这个课名下，包含的材料可以是相当广泛的，讲授的体系可以是很不一样的。这既给课程提供了大量的素材，又对恰当的选材提出了较高的要求。而选修该课程的，文理科的学生都有，二至四年级的学生都有。因此，我们确定的“数学文化”课的选材原则是，第一，以数学史、数学问题、数学知识为载体，介绍数学思想、数学方法、数学精神；第二，涉及的数学知识不要过深，以能讲清数学思想为准，使各专业的学生都能听懂，都有收获；第三，开阔眼界，纵横兼顾，对于数学的历史、现状和未来，都要有所介绍。总之，选材要贯彻素质教育的思想，既要着眼于提高学生的数学素质，又要着眼于提高学生的文化素质。
在南开大学“数学文化”课的六轮讲授中，我们实践了两种不同的教学大纲。第一种是比较系统地讲授数学的思想和方法，比较系统地讲授数学史中的重大事件和重要人物，比较系统地讲授数学中的美，比较系统地讲授数学与其他文化的关系。结果发现两个问题：一是由于课时少，为求“系统”便差不多仅剩骨架了，许多有血有肉的内容不得不忍痛割爱了；二是过于理论化的讲课，减少了生动活泼的趣味性，从而也影响了教学效果。此后，我们从思路上作了根本的调整，我们认为，数学文化本无现成的体系，不必过多地追求系统性。我们实践的第二种教学大纲，除第一章“概论”，仍然粗略地保持了某种系统性，以让学生对数学文化有一个整体的了解；其他三章的各节，基本上是互不相关的，每节都可以独立成篇。这样一来，后三章的每一节，都集中地讲授一个内容，并且围绕这一内容展开其中的数学文化。从每一节的角度看数学文化，是不系统的，但它们的总和又体现了数学文化的系统性。更重要的是，这种安排，论点集中，论据充分，并且有血有肉，既有知识性，又有思想性，还有趣味性。实践表明，这种讲法取得了更好的教学效果。现在，南开大学的“数学文化”课，相对稳定在这后一种教学大纲上。现把这个大纲作为本文的一个组成部分，附在最后。
3.“数学文化”课的效果
这几年来，“数学文化”课的选课场面十分火爆，每次都因选课学生大量超额要靠计算机筛选。少数学生甚至连选三个学期均未选上此课，不得已向教务处老师求情，争取不通过计算机选课而通过手选上课。下面列举三个学生对这个课的书面评价。一个学生说：“数学文化课无疑是具有独特风格的一门公选课。对于形形色色的人来说，每个人都能从中受益，而且是受益匪浅。”一个学生说：“数学文化课向我展示了数学极富魅力的一面。不是以往数学课上的定理、公式、计算和题海，而是数学的思想、精神和方法。我第一次用美学的眼光来看待数学；第一次了解到数学在各个领域所发挥的重要作用；第一次走进数学史的长河，去追随数学家的足迹；第一次体会到数学中浓郁的人文主义精神；第一次知道曾深刻影响人类社会发展进程的三次数学危机，希尔伯特的23个问题等等。”一个学生说：“这是我上大学以来选的最正确的一门课。”
《天津教育报》报道过笔者讲授“数学文化”课的消息。天津的许多大学，以及湖南、江苏、四川、陕西的一些大学，也请笔者去做过“数学文化”讲座，反映都较好。例如天津工业大学，曾让学生对一年来所听讲座写体会，结果大多数学生写的都是听“数学文化”讲座的体会。
三、“数学文化”课中的素质教育
“数学文化”课的目的，是提高学生的数学素质。因此，课程不是以讲数学知识为主，而是以讲数学思想为主，以启发和提升学生的数学素养为主。作为载体的知识，可以尽量选得通俗一些，能说明问题就行。这也适应了听课学生数学水平参差不齐的状况。
下边用“数学文化”课中的实例，来说明在“数学文化”课中如何用浅显的数学知识为载体，进行数学素质的教育。
1.“化归”的思想
所谓“化归”，是把未知的、待解决的问题，转化为已知的、已解决的问题，从而解决问题的过程。这是数学工作者解决问题常见的思路。数学家波利亚用一个“烧水”的浅显例子，把“化归”的数学思想解释得非常明白。
他说，给你一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个空水壶，让你烧一满壶开水，你应该怎么做？你于是回答：把空水壶放到水龙头下，打开水笼头，灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶，把一满壶水烧开。
他说，对，这个问题解决得很好。现在再问你一个问题：给你一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个已装了半壶水的水壶，让你烧一满壶开水，你又应该怎么做？然后波利亚说，物理学家这时会回答：把装了半壶水的壶放到水笼头下，打开水龙头，灌成一满壶水，再把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶，把一满壶水烧开。但是数学家的回答是：把装了半壶水的水壶倒空，就化归为刚才已解决的问题了。
这时，教师可以就此启发学生自己举例，说说自己过去在解决哪个数学问题时，用到过“化归”的思想。这样，学生就理解并记住了“化归”的思想，并且使之转化为自身的数学素养，今后会自觉地运用“化归”的思想。
2.纯存在性证明
数学上证明一个事物的存在，可以有两种途径，一种是构造性证明，即用某种方式把该事物构造出来；另一种是纯存在性证明，即用逻辑推理的方式证明该事物一定存在。
构造性证明人们很容易接受，但纯存在性证明就不太容易接受。下边用纯存在性证明的方法来证明：天津市南开区里，至少有两个人的头发根数一样多。
先通俗地解释一下“抽屉原理”：把4个苹果放到3个抽屉里，至少会有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。然后再用“抽屉原理”证明一个小命题，以加深对抽屉原理的理解。这个命题是：367个人中，至少有两个人会在同一天过生日。因为生日只论几月几号，不论年，而一年一般有365天，闰年366天，现在有367个人，所以至少有两个人的生日在同一天。
最后再来证明“南开区至少有两个人的头发根数一样多”。这是因为一个人的头发不会超过20万根，而南开区的人数多于20万，所以运用“抽屉原理”就知道，南开区至少有两个人头发根数一样多。这就是纯存在性证明，它证明了命题，但并未指出哪两个人头发根数一样多。这比通过数头发根数去找出两个人的构造性证明要高明，因为数头发根数很容易数错，更不用说由于数的时间过长，在数的过程中还可能掉头发。
这个例子一方面让学生知道了纯存在性证明是怎么回事，一方面也让学生感觉到数学上逻辑推理的强大威力，体会到数学的魅力。
3.“抽象”的观点
数学抽象大大高于其他学科的抽象。数学中，不仅概念是抽象的，而且方法、手段也是抽象的，结论也是抽象的。数学的这种抽象性，导致它应用的广泛性。所以，“抽象”的观点，是数学中一个基本的观点。下边举哥尼斯堡七桥问题为例，来说明“抽象”的观点。
哥尼斯堡是欧洲一个美丽的城市，有一条河流经该市，河中有两个小岛，岛与两岸间，岛与岛间有七座桥相连。人们晚饭后沿河散步时，常常走过小桥来到岛上，或到对岸。一天，有人想出一种游戏来，他提议不重复地走过这七座桥，看看谁能先找到一条路线。这引起许多人的兴趣，但尝试的结果，没有一个人能够做到。不是少走了一座桥，就是重复走了一座桥。
多次尝试失败后，有人写信求教于当时的大数学家欧拉。欧拉思考后，首先把岛和岸都抽象成“点”，把桥抽象成线。然后欧拉把哥尼斯堡七桥问题抽象成“一笔画问题”：笔尖不离开纸面，一笔画出给定图形，不允许重复任何一条线，这简称为“一笔画”。需要解决的问题是：找到“一个图形可以一笔画”的充分必要条件，并且对可以一笔画的图形，给出一笔画的方法。
欧拉经过研究，完满地解决了上述问题，并且写成论文，在彼得堡科学院的讲台上宣读。欧拉把图形上的点分成两类：注意到每个点都是若干条线的端点，如果以某点为端点的线有偶数条，就称此点为偶节点；如果以某点为端点的线有奇数条，就称此点为奇节点。要想不重复地一笔画出某图形，那么除去起始点和终止点两个点外，其余每个点，如果画进去一条线，就一定要画出来一条线，从而都必须是偶节点。于是“一笔画”的必要条件是“图形中的奇节点不多于两个”。反之也对：如果图形中的奇节点不多于两个，就一定能完成一笔画。当图形中有两个奇节点时，则从任何一个点起始都可以完成一笔画。(不会出现图形中只有一个奇节点的情况，因为每条线都有两个端点。)这样，欧拉就得出了图形可以一笔画的充分必要条件：图形中的奇节点不多于两个。再由此看哥尼斯堡七桥问题，图形中有四个奇节点，因此该图形不能一笔画。难怪对于“不重复地走过七座桥”的游戏，所有的尝试都失败了。
从这个例子中，我们深刻地感到数学抽象的强大威力，它也开创了拓扑学的先河。
4．数学中的“统一美”
研究偶然性内容的概率论，与研究确定性内容的平面几何，本来是两个不同的数学分支。但是，数学家蒲丰却用随机投针的方法去求圆周率 。1777年的某一天，蒲丰把一些朋友请到家里。他事先在一张大白纸上画好了一条条等距离的平行线，又拿出许多质量均匀、长度为平行线距离一半的小针，请客人把针一根根随意扔到白纸上。蒲丰则在旁边计数，结果共投了2212次，其中与平行线相交的有704次。蒲丰随即用2212除以704，得 ，然后说，这就是圆周率的近似值。
这一试验让客人震惊，然而它却有数学依据。计算的值，是确定性问题，投针，却是随机性的方法。蒲丰成功地用随机性的方法解决确定性的问题，这反映了数学的“统一美”。
5．有限与无限
有限与无限是有本质区别的。初等数学主要研究常量，较多地用到有限；高等数学主要研究变量，较多地用到无限。所以搞清有限与无限的联系与区别，是重要的数学素养。
古希腊的哲学家芝诺，讲过四个悖论，我们借用其中一个，但是从数学角度看问题。
所谓悖论，就是有悖于常理的言论，就是一种自相矛盾。例如，“甲是乙”，“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错误的；但“本句话是七个字”，“本句话不是七个字”，这两个命题却都是对的。这就是一个悖论。
芝诺讲了一个“阿基里斯追不上乌龟”的悖论。阿基里斯是古希腊神话中跑得最快的神，而乌龟是爬得很慢的动物，即使让乌龟先爬出一段路，阿基里斯也应该很快能追上乌龟。芝诺却说，他可以证明，阿基里斯永远也追不上乌龟。
芝诺是这样证明的。假设乌龟先爬出一段距离 到达 点，阿基里斯要想追上乌龟，首先得跑到点。当阿基里斯跑过距离到达点时，乌龟同时又爬出一段距离 到达 点。阿基里斯要想追上乌龟，就又得跑到点。当阿基里斯又跑过距离到达点时，乌龟同时又爬出一段距离 到达 点。这样下去，阿基里斯跑到点时，乌龟又爬到 点了，阿基里斯跑到点时，乌龟又爬到了 点了。如此这般，阿基里斯岂不是永远也追不上乌龟了？
这个悖论的症结在哪里呢？学生会积极思考，踊跃回答的。教师应逐渐引导学生认识到：表面上看起来阿基里斯要想追上乌龟需要跑无穷段路程，由于是无穷段，所以感觉永远也追不上；实际上这无穷段路程的和却是有限的，所以阿基里斯跑完这段有限的路程后，其实已经追上了乌龟了。
关于“无穷段路程的和可能是有限的”，可以让学生回忆无穷递缩等比数列的和。这样的数列有无穷多项，这无穷项的和却是有限的。芝诺故意把有限的路程巧妙地分割成无穷段路程，让人产生一种错觉，以为是永远也追不上了。
还可以再举一些有限与无限的例子，去说明：无限的本质，是真子集与全集可以有一一对应。例如，全体自然数的一个真子集是全体正偶数，但 却是这两个集合间的一一对应。所以，“部分量小于全量”的命题，只对有限集是正确的。
以上举了一些例子，是想说明在“数学文化”课中，如何用尽可能浅显的知识为载体，去讲清数学的思想、方法、精神，去进行数学素质的教育。当然，有些数学思想的阐明，不得不采用稍微高深一点儿的知识为载体，这也是必要的，特别是当听课学生的数学水平较高时，是完全可行的。例如，从研究欧氏第五公设出发，讲一点儿非欧几何及其中的数学思想。再例如，从公理化方法的“相容性、独立性、完全性”出发，讲一点儿哥德尔的“不完全性定理”及其中的数学思想，学生都会受益匪浅的。
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